あんな約束をしたのに請求できるのかしら・・・

離婚に際して、子どもの親権についてお互い譲らず言い争いになったH子さん。

いつまで経っても離婚できないのではないか、できたとしても子どもを引き取れないのではないか、という焦りから親権者になる代わりに養育費は請求しないと約束してしまったのです。

その後、子どもが大きくなるにつれて、養育費用が重くのしかかってくることになったので、恥を忍んで元夫に養育費を請求しようと考えているのですが、果たして養育費の請求はできるのでしょうか。

請求できます。

子は父母から扶養を受ける権利、父母はお互いに子を扶養する義務があるので、親同士が約束したからといって元夫の未成年の子に対する扶養の義務がなくなるわけではなく、H子さんが扶養する能力がなくなったときは、元夫は子に対する扶養義務を果たさなくてはなりません。
仮にH子さんが養育費をもらえなくても、子ども自身が父親に扶養料（生活のための必要な費用）を請求することができます。この場合、親権者であるH子さんが代理して手続きすることになります。